1. Sistem Bilangan Real
Aksioma Lapangan
1) Sifat
asosiatif, yaitu untuk setiap a, b, c
di ℝ berlaku
(a)
(a + b)
+ c = a + (b + c),
(b)
(ab)c
= a(bc).
2)
Sifat
komutatif, yaitu untuk setiap a, b, c di
ℝ berlaku
(a) a + b = b + a,
(b)
ab = ba.
3)
Eksistensi
unsur identitas, yaitu
(a)
Terdapat
0 di ℝ yang memenuhi a + 0 = a untuk semua a
di ℝ.
(b)
Terdapat
1 di ℝ dan 1 = 0 yang memenuhi a1 = a untuk semua a di ℝ.
4)
Eksistensi
unsur invers, yaitu
(a) Untuk
masing-masing a di ℝ terdapat -a
di ℝ yang memenuhi a
+ (-a) = 0.
(b) Untuk
masing-masing a di ℝ yang tidak nol terdapat a-1 di ℝ yang memenuhi aa-1 = 1.
5) Sifat
distributif, yaitu untuk setiap a, b, c
di ℝ berlaku a(b +
c) = ab + ac.
Sebagai kosekuensi dari sifat-sifat pada aksioma
lapangan di atas, diperoleh sifat-sifat berikut :
1.
-a dan
a - 1 yang memenuhi sifat 4 di atas adalah tunggal.
2.
0a = 0, untuk setiap a
di ℝ.
3.
(-1)a = -a, untuk setiap a
di ℝ.
4.
-(-a) = a, untuk setiap a
di ℝ.
5.
(-a)(-b) = ab, untuk setiap a
di ℝ.
6.
(a-1)-1 =a, untuk setiap a
di ℝ yang tidak nol.
Aksioma Urutan
Terdapat subhimpunan tak kosong ℙ dari ℝ, disebut himpunan bilangan
real positif, yang memenui sifat berikut:
- Jika a, b ∈ ℙ,
maka a + b di ∈ ℙ
- Jika a, b ∈ ℙ,
maka ab ∈ ℙ
- Jika a ∈ ℝ,
maka memenuhi salah yang berikut
a ∈ ℙ, a =
0, -
a ∈ ℙ.
Keadaan c. diatas disebut sifat
trichotomy. Himpunan {- a : a ∈ ℙ} disebut himpunan bilangan
real negatif, jadi himpunan bilangan real merupakan gabungan disjoint dari tiga
himpunan yaitu himpunan bilangan real positif, himpunan nol dan himpunan
bilangan real negatif.
Untuk a ∈ ℙ, dituliskan a > 0 dan dikatakan bahwa a adalah bilangan real positif (atau
positif kuat). Jika a ∈ ℙ U {0}, dituliskan a ³ 0
dan dikatakan bahwa a adalah bilangan
real tak negatif. Untuk - a ∈ ℙ, dituliskan a < 0 dan dikatakan bahwa a adalah bilangan real negatif (atau
negatif kuat). Jika - a ∈ ℙ U {0}, dituliskan a £ 0
dan dikatakan bahwa a adalah bilangan
real tak positif.
Notasi Bilangan Positif
Misalkan diberikan 
ℝ .
a)
Jika
p , maka ditulis
atau
.
b)
Jika
p 
, maka ditulis
atau
Sifat Trikotomi diatas berakibat
bahwa untuk
ℝ memenuhi
tepat satu kondisi berikut.
Selanjutnya, jika 
dan , maka 
Jika 
, maka artinya bahwa 
dan 
.
Sifat sifat yang dapat
diturunkan:
1. Jika ab
> 0 dan a > 0 maka b > 0.
2. Misalkan a,b,c
. ℝ Jika
a > b dan b > c, maka
a > c.
3. Jika a > 0, maka 
4. Jika a < 0, maka 
5. Misalkan a,b,c ℝ
(a) Jika c > 0 dan ca > cb maka a > b.
(b) Jika
c < 0 dan ca < cb, maka a < b.
2. Ketaksamaan
Sifat-sifat yang berkaitan dengan aksioma urutan
banyak digunakan pada masalah-masalah yang berkaitan dengan ketaksamaan. Pembahasan ketaksamaan berikut menggunakan
pendekatan pemecahan masalah dengan beberapa contoh.
Contoh
Tunjukan Bahwa
untuk setiap
bilangan real
a>0, dan akan merupakan
kesamaan jika dan hanya jika 
Penyelesaian:
untuk setiap bilangan real a belaku 
a+ 
=2 
a2+1=2a a2-2a+1=0 (a-1)2=0 a=1
.
Contoh
Buktikan bahwa jika a dan b bilangan real
positif maka
selanjutnya ketaksamaan ini akan berlaku sebagai
kesamaan jika dan hanya jika
a=b
Bukti:
Perhatikan bahwa
(1)
Hal ini ekivalen
dengan
(2)
Kedua ruas ditambahkan
, maka ketaksamaan (2) menjadi
yang ekivalen
dengan
(3)
Perhatikan bahwa ketaksamaan (3) merupakan kesamaan
jika dan hanya jika (1) merupakan kesamaan, hal ini terjadi jika dan hanya jika
a=b.
Dengan mengganti
a
dan
b pada ketaksamaan (2)
berturut-turut dengan
dan
diperoleh
yang ekivalen
dengan
(4)
Dengan
demikian ketaksamaan (4) merupakan kesamaan jika dan hanya jika 
atau a=b,
ketaksamaan (4) ekivalen dengan 
yang ekivalen
dengan
(5)
Sehingga
(5) merupakan kesamaan jika dan hanya jika a=b,
sehingga dari (3),(4), dan (5) diperoleh:
,
selanjutnya merupakan kesamaan jika dan hanya jika a=b. Untuk bilangan real a
dan b positif 
pada contoh
di atas masing –masing adalah rataan kuadratik (QM), rataan Aritmetika (AM),
rataan geometrik (GM) dan rataan harmonik (HM).dengan demikian untuk bilangan
real positif a dan b kita mempunyai 
selanjutnya QM = AM = GM = HM jika dan hanya jika a = b. Rataan kuadrat, rataan
aritmatika, rataan geometri, dan rataan harmonik dari n bilangan real positif a1,
a2, . . . , an berturut-turut adalah:
3. Sukubanyak (polinom)
Misalkan F
menyatakan sistem bilangan real atau sistem bilangan rasional dan n adalah bilangan bulat tidak negatif.
Bentuk
,
dengan 
dan 
disebut suku banyak atas F berderajat n . Himpunan
semua sukubanyak atas F ditandai
dengan F [x].
Berikut
diberikan beberapa sifat sukubanyak yang sering digunakan.
Teorema Algoritma Pembagian
Misalkan f(x) dan g(x) di F [x] dan g(x) bukan sukubanyak nol. Maka terdapat
sukubanyak q(x) dan r(x) di F [x]
yang tunggal dan memenuhi f(x) = q(x)g(x) + r(x) dengan r(x) merupakan sukubanyak nol atau r(x) bukan sukubanyak nol yang
berderajat kurang dari derajat g(x). Dalam
teorema di atas, q(x) disebut
hasilbagi dan r(x) disebut sisa
pembagian. Selanjutnyajika r(x)
merupakan sukubanyak nol maka dikatakan f(x)
habis dibagi oleh g(x).
Teorema Sisa
Jika sukubanyak f(x) dibagi oleh (x-a)
maka sisanya adalah f(a).
Bilangan a di F disebut akar dari sukubanyak f(x) jika f(a) = 0. Sebagai akibat dari teorema di atas diperoleh teorema
berikut.
Teorema Faktor
Sukubanyak f(x)
habis dibagi oleh (x-a) jika dan
hanya jika amerupakan akar dari f(x).
Contoh
suku banyak 
habis dibagi oleh 
dan bersisa-9 jika dibagi 
. Tentukan nilai A dan B.
Penyelesaiaan:
Karena 
habis dibagi oleh maka
(6)
Karena bersisa -9 jika dibagi , maka
(7)
Dengan eliminasi (6) dan (7) diperoleh
A=-4 dan B=2
4. Barisan
dan Deret
Barisan bilangan real adalah susunan
bilangan yang mempunyai pola.
dengan 
bilangan real.
Selanjutnya 
disebut suku
ke-n dan 
.
Sebuah barisan yang setiap selisih dua
suku berurutan sama disebut barisan
aritmétik, sedangkan sebuah barisan yang hasil bagi setiap dua suku berurutan sama disebut barisan geometri.
Barisan Aritmetika
Sehingga suku ke-n adalah 
, b disebut beda.
Jumlah sampai suku ke- n adalah 
Barisan Geometri
Sehingga suku ke-n adalah 
, r disebut
rasio.
Jumlah sampai suku ke- n adalah 
dengan r ¹ 1.
Apabila |r| < 1 maka jumlah suku keseluruhan adalah 
.
Contoh
a) Barisan X
:= (2, 5, 8, 11, 14, × × × )
dapat dituliskan sebagai X :=
(3n - 1 : n Î ℕ) atau lebih sederhana lagi X := (3n -1). Dapat juga dituliskan sebagai barisan X dengan xn = 3n -1
untuk n Î ℕ. Barisan ini adalah Barisan
Aritmetika dengan beda 3.
b) Barisan Y := (1, 2, 4, 8, × × × )
adalah barisan Y dengan yn = 2(n
-1). untuk n Î ℕ. Barisan ini adalah Barisan Geometri dengan rasio 2.
c) Barisan Z dengan yn = 2, untuk n Î ℕ adalah barisan (2, 2, 2, 2, × × × ). Barisan ini adalah Barisan
Konstan.
d) Barisan
B := (1, 4, 9, 16, 25, × × × ) dapat dituliskan sebagai B := (n2 : n Î ℕ) atau lebih sederhana lagi X := (n2).
Ada pula barisan yang didefinisikan secara rekursif atau induktif, yaitu dengan memberikan nilai xn+1 dari nilai x1,
x2, x3, × × × , xn. Berikut adalah contoh
barisan yang polanya dinyatakan secara rekursif.
Contoh
a) Barisan bilangan ganjil (2n - 1 : n Î ℕ) dapat dituliskan secara rekursif dengan
x1 = 1,
xn+1 = xn + 2, untuk
n ³ 1.
atau melalui definisi
y1 = 1, yn+1 = yn + y1
+ 1, untuk n ³ 1.
b) Barisan Fibonacci F := (fn) didefinisikan
secara rekursif dengan
f1 = 1, f2
:= 1, fn+1 := fn-1
+ fn , untuk n ³ 2.
Sepuluh suku pertama dari barisan
Fibonacci adalah
(1,
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, × × × )
Definisi Operasi pada Barisan
Misalkan X
:= (xn : n Î ℕ) dan Y
:= (yn : n Î ℕ)
barisan bilangan real.
a) Penjumlahan barisan X dan Y adalah barisan
X + Y := (xn
+ yn : n Î ℕ).
b) Pengurangan barisan X dan Y
adalah barisan
X - Y := (xn
- yn : n Î ℕ).
c) Perkalian barisan X dan Y adalah barisan
X Y := (xn
yn : n Î ℕ).
d) Jika c
Î ℝ , maka perkalian dari barisan Y dengan bilangan real c adalah barisan
cY := (c yn : n Î ℕ).
e) Jika Z
:= (zn : n Î ℕ) adalah barisan bilangan real dengan zn ¹ 0, maka pembagian barisan X dengan Z adalah barisan
X / Z := (xn / zn : n
Î ℕ).
Contoh
Jika X
:= 
dan Y
:= (
) maka
X + Y = 
,
X - Y = 
,
X Y =
= 
,
5X = 
,
X / Y = 
.
Definisi
Jika X := (xn)
barisan di R, maka deret tak berhingga
(cukup disebut deret) yang dibentuk
oleh X adalah barisan S := (sk) yang didefinisikan dengan
s1 := x1
s2 := s1 + x2 ( = x1 + x2 )
. .
.
sk := sk-1 + x2 ( = x1 + x2 + . . . + xk
)
. . .
xn disebut dengan suku ke-n (terms) dari deret, dan sk disebut jumlah
parsial sampai suku ke-n (partial
sum).
Notasi Sigma
Deret tak berhingga S yang dibangun oleh barisan X := (xn)
disimbolkan dengan
Contoh deret
Diberikan barisan 
dengan 
yang membangun deret:
Notasi Phi
Perkalian antar
suku dapat dituliskan dalam notasi Phi
Contoh
Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 m, lalu
bola tersebut memantul setengah kali tinggi semula. Berapa panjang lintasan
bola tersebut
5. Sistem
Persamaan
Bentuk yang
melibatkan variabel, yaitu f(x1,x2,...,xn)
= c disebut persamaan dengan n buah
variabel. Sistem persamaan adalah suatu sistem yang terdiri dari dua atau lebih
persamaan, yaitu
f1(x1,x2,...,xn)
= c1
f2(x1,x2,...,xn)
= c2.
.
.
.
fn(x1,x2,...,xn)
= cn
Sistem
persamaan diatas disebut sistem persamaan dengan n buah variabel dan m persamaan.
Solusi dari suatu sistem
persamaan adalah solusi secara simultan dari semua persamaan didalam sistem
itu. Cara baku untuk mencari
solusi suatu sistem persamaan dengan cara eliminasi dan atau substitusi.
Berikut akan diberikan beberapa contoh soal yang tidak regular.
Contoh
Cari semua solusi real dari sistem
persamaan
Penyelesaian:
misalkan 
solusi dari sistem persamaan di atas. Diantara x,y dan z tidak mungkin
ada yang nol. Perhatikan bahwa jira salah satu positif maka dua yang lanilla
juga positif. Selanjutnya
dengan menggunakan ketaksamaan AM-GM untuk masing-masing persamaan diperoleh
Dengan menambahkan semua persamaan dari
sistem persamaan semula dan hasil di atas diperoleh 
Dengan demikian haruslah 
selanjutnya
dapat ditunjukan bahwa 
dan 
adalah solusi
yang di maksud.
